Магический шестиугольник

Магический шестиугольник или магический гексагон порядка $n$ — набор чисел, расположенный в центрированной шестиугольной решётке со стороной $n$ таким образом, что сумма чисел в каждой строке во всех направлениях равна некоей магической константе $M.$

Порядок n = 1 $M=1$	Порядок n = 3 $M=38$

Обычный магический шестиугольник может быть только порядка $n=1$ (случай тривиален, и здесь речь о нём идти не будет) или $n=3$ и может содержать числа от единицы до $3n^{2}-3n+1.$ Более того, если не считать зеркальных, существует только один магический шестиугольник порядка $n=3.$

Магический шестиугольник публиковался много раз как новое явление. Первооткрывателем, вероятно, является Эрнст фон Хасельберг (нем. Ernst von Haselberg) в 1887 году.

Доказательство единственности

Докажем, что существуют магические шестиугольники только порядка $n=1$ и $n=3.$

Вычислим магическую константу $M.$ С одной стороны, гексагон содержит числа от единицы до $3n^{2}-3n+1$ (это легко доказать, разложив фигуру на три параллелограмма). То есть, сумма всех чисел в гексагоне

$S={\cfrac {3n^{2}-3n+1}{2}}(3n^{2}-3n+2).$

С другой стороны, есть $2n-1$ рядов (например, вертикальных), которые включают в себя все числа в шестиугольнике. Так как сумма чисел в каждом ряду равна $M,$ то во всём шестиугольнике будет $S=M(2n-1).$

Приравняв суммы, получим, что

$32M=72n^{3}-108n^{2}+90n-27+{\cfrac {5}{2n-1}}$

Слева стоит целое число. Значит, справа должно тоже быть целое число.

Значит, ${\cfrac {5}{2n-1}}$ — это целое число, что возможно только при $n=1$ и $n=3.$

QED.

Аномальные магические шестиугольники

Хотя нормальных магических шестиугольников порядка, отличного от $n=3$ не существует, существуют аномальные магические шестиугольники иных порядков.

Аномальными магическими шестиугольниками назовём шестиугольники, образованные по указанным выше правилам, однако, начинающие отсчёт чисел не от единицы, а от иного числа.

14    33    30    34       39     6    24    20    22    37    13    11     8    25    17 21    23     7     9     3    10    38    36     4     5    12    28    26       35    16    18    27    15          19    31    29    32	41    51    63    45    44           64    25    40    46    35    34        23    20    10    56    27    42    66     55    38    19     9     6    22    48    47  61    58    18    11     8     7    13    15    53     52    37    14    16    30    12    24    59        57    32    29    21    17    39    49           31    36    62    28    54    33              43    26    60    65    50	56    61    70    67    51          55    45    36    48    53    68       74    37    26    29    27    39    73    62    42    33    19    16    31    38    64 58    57    22    20    15    18    23    43    49    63    47    28    21    17    30    34    65       71    35    24    32    25    46    72          59    44    40    41    52    69             54    60    75    66    50
Порядок 4 $M=111$ Начинается с $3$ и кончается $39$	Порядок 5 $M=244$ Начинается с $7$ и кончается $66$.	Порядок 5 $M=305$ Начинается с $15$ и кончается $75$.

Магический гексагон порядка $n=6$, начинающийся с $21$ и кончающийся $111$ ($M=546$) был создан Louis Hoelbling 11 октября 2004 года.

Гексагон порядка $n=7$, начинающийся с 2 и кончающийся 128 ($M=635$) был создан Arsen Zahray 22 марта 2006 года.

Наибольший из известных на данный момент гексагон порядка $n=8$, начинающийся с −84 и кончающийся 84 ($M=0$) был создан Louis K. Hoelbling 5 февраля 2006 года.

См. также

• Магический и супермагический квадрат
• Магический куб
• Чисугвимундо

Литература

• Baker. J. E. and King, D. R. (2004) «The use of visual schema to find properties of a hexagon» Visual Mathematics, Volume 5, Number 3
• Baker, J. E. and Baker, A. J. (2004) «The hexagon, nature’s choice» Archimedes, Volume 4